¿Es posible rescindir un contrato vigente por una deuda no satisfecha de un contrato anterior?

Inquilino deudor nos informa que está tramitando una ayuda de alquiler, y mantenemos reunión con asistentes sociales, que nos informan que los servicios sociales del ayuntamiento se harán cargo de la deuda, siempre y cuando accedamos a realizar un contrato de alquiler social, apadrinado por el ayuntamiento, por un periodo de tres años, que sustituya al presente. De lo contrario, el inquilino se marchará finalizado el contrato sin satisfacer la deuda. Rescindimos el contrato anterior, con una deuda de varios meses de alquiler, y firmamos un nuevo contrato en que el ayuntamiento es garante del mismo y pagador. El ayuntamiento se hace cargo regularmente de los pagos, pero nos van dando largas para pagar la deuda atrasada del contrato anterior. La asistenta social nos informa cada tanto, por escrito, de que se está tramitando la satisfacción del pago de la deuda acumulada. ¿Se podría rescindir el contrato actual en virtud de la deuda anterior? Tenemos por escrito tanto el reconocimiento de la deuda como el compromiso de pago, y nos gustaría tener algo de peso con que presionar, una hipotética rescisión del contrato vigente, porque de otra manera tememos que la deuda prescriba en este tiempo - el contrato actual tiene un vigor de tres años.